HP Calculatrice graphique HP 48gII Manuel d'utilisation
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Les amplitudes de A
n
seront désignées comme le spectre de la fonction et
seront une mesure de magnitude de la composante f(x) de fréquence f
n
= n/T.
La fréquence de base, ou fréquence fondamentale des séries de Fourier, étant
f
0
= 1/T, par conséquent, toutes les autres fréquences sont des multiples de
cette fréquence de base, à savoir f
n
= n
⋅f
0
. De même, nous pouvons définir
une fréquence angulaire,
ω
n
= 2n
π/T = 2π⋅f
n
= 2
π⋅ n⋅f
0
= n
⋅ω
0
, où
ω
0
est la
fréquence angulaire de base, ou fondamentale, des séries de Fourier.
En utilisant la notation de fréquence angulaire, le développement des séries
de Fourier s’écrit :
∑
∞
=
+
⋅
+
=
1
0
).
cos(
)
(
n
n
n
n
x
A
a
x
f
φ
ω
Un tracé des valeurs A
n
vs.
ω
n
constitue la représentation typique d’un spectre
discret pour une fonction. Le spectre discret montrera que la fonction a des
composantes à des fréquences angulaires
ω
n
qui sont des multiples entiers de
la fréquence angulaire fondamentale
ω
0
.
Supposons que nous soyons confrontés à la nécessité de développer une
fonction non périodique en composantes sinus et cosinus. Une fonction non
périodique peut être considérée comme ayant une période infiniment grande.
Ainsi, pour une valeur très grande de T, la fréquence angulaire fondamentale
ω
0
= 2π/T, devient une très petite quantité, disons ∆ω. De même, les
fréquences angulaires correspondantes
ω
n
= n
⋅ω
0
= n
⋅∆ω, (n = 1, 2, …, ∞),
prennent maintenant des valeurs de plus en plus proches les unes des autres,
suggérant la nécessité d’un spectre continu de valeurs.
Par conséquent, la fonction non périodique peut s’écrire
∫
∞
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
0
,
)]
sin(
)
(
)
cos(
)
(
[
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
d
x
S
x
C
x
f
(
)
∑
∞
=
⋅
+
⋅
+
=
1
0
sin
cos
n
n
n
n
n
x
b
x
a
a
ω
ω