HP Calculatrice graphique HP 48gII - Manuel (Page 203)

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quelconques, tous deux inférieurs à n, si j+k ≥ n, alors j+k est définie comme
j+k-n. Par exemple, dans le cas d’une horloge, à savoir pour n = 12, 6+9 “=”
3. Pour distinguer cette égalité des égalités arithmétiques infinies, le symbole
≡ est utilisé à la place du signe “=“ (égale) et la relation entre les nombres est
appelée congruence plutôt qu’égalité. Par conséquent, pour l’exemple
précédent nous écrirons 6+9
≡ 3 (mod 12) et lirons cette expression ainsi “six
plus neuf est congru à trois, modulo douze.” Si les nombres représentent les
heures depuis minuit, par exemple, la congruence 6+9
≡ 3 (mod 12) peut être
interprétée comme voulant dire “six heures après la neuvième heure après
minuit sont trois heures après midi.” D’autres sommes qui peuvent être définies
en module 12 arithmétique sont : 2+5
≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12);
7+5 ≡ 0 (mod 12) etc.
La règle pour la soustraction est telle que si j – k < 0, alors j-k est défini
comme j-k+n. Par conséquent, 8-10
≡ 2 (mod 12), se lit “huit moins dix est
congru à deux, modulo douze.” D’autres exemples de soustraction en module
12 seraient 10-5
≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9 (mod 12); 5 –
10 ≡ 7 (mod 12) etc.
La multiplication suit la règle suivante : si j
⋅k > n, de telle sorte que j⋅k = m⋅n +
r, où m et r sont des entiers non négatifs, tous deux inférieurs à n, alors j ⋅k ≡ r
(mod n). Le résultat de la multiplication fois j fois k en module n arithmétique
est, par essence, le reste entier de j
⋅k/n en arithmétique infinie, si j⋅k>n. Par
exemple, en module 12 arithmétique nous avons 7 ⋅3 = 21 = 12 + 9, (ou,
7 ⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, est le reste entier. Nous pouvons maintenant
écrire 7 ⋅3 ≡ 9 (mod 12) et lire ce résultat “sept fois trois est congru à neuf,
modulo trois.”
L’opération de division peut être définie en termes de multiplication comme
suit , r/k
≡ j (mod n), si, j⋅k ≡ r (mod n). Cela signifie que r doit être le reste
de j ⋅k/n. Par exemple, 9/7 ≡ 3 (mod 12), parce que 7⋅3 ≡ 9 (mod 12).
Certaines divisions ne sont pas permises en arithmétique modulaire. Par
exemple, en arithmétique module 12, vous ne pouvez pas définir 5/6 (mod
12) parce que la table de multiplication de 6 ne montre pas le résultat 5 en
arithmétique module 12. Cette table de multiplication est donnée ci-dessous :