HP Calculatrice graphique HP 48gII - Manuel (Page 513)

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∑
∞
=
⋅ =
0
) (
!
) 0 (
) (
n
n
n
x
n
f
x f
Polynôme de Taylor et rappel
Dans la pratique, on ne peut pas évaluer tous les termes d’une série infinie ;
on effectue une approximation de la série par un polynôme de l’ordre k, P
k
(x),
et on estime l’ordre d’un reste, R
k
(x), tel que
∑ ∑
∞
+ = =
− ⋅ + − ⋅ =
1
) (
0
) (
) (
!
) (
) (
!
) (
) (
k n
n
o
o
n k
n
n
o
o
n
x x
n
x f
x x
n
x f
x f
,
c’est-à-dire,
). ( ) ( ) ( x R x P x f
k k
+ =
Le polynôme P
k
(x) est appelé polynôme de Taylor. L’ordre du reste est estimé
en termes d’une petite quantité h = x-x
0
, c’est-à-dire par l’évaluation du
polynôme à une valeur de x très proche de x
0
. Le reste est obtenu par
1
) 1 (
!
) (
) ( +
+
⋅ = k
k
k
h
k
f
x R
ξ
,
où ξ est un nombre proche de x = x
0
. Dans la mesure où ξ est habituellement
inconnu, on fournit une estimation de l’ordre du reste dans la référence à h,
soit on dit que R
k
(x) possède une erreur de l’ordre h n+1 , ou R ≈ O(h k+1 ). Si h est
un petit nombre, par exemple, h<<1, alors h k+1 sera généralement très petit, à
savoir, h k+1 <<h k << …<< h << 1. Ainsi, pour x proche de x
0
, plus le nombre
d’éléments du polynôme de Taylor est important, plus l’ordre du reste est petit.
Fonctions TAYLR, TAYLR0 et SERIES
Les fonctions TAYLR, TAYLR0 et SERIES sont utilisées pour générer des
polynômes de Taylor, ainsi que des séries de Taylor avec reste. Ces fonctions
sont disponibles dans le menu CALC/LIMITS&SERIES décrit précédemment
dans ce chapitre.