HP Calculatrice graphique HP 49g - Manuel (Page 656)

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Intervalles de confiance pour la moyenne de population quand la
variance de population est inconnue
Supposons que X et S, respectivement, soient les déviations moyenne et
standard d’un échantillon aléatoire de taille n, prélevé sur une population
infinie à déviation standard inconnue
σ. L’intervalle de confiance bilatéral
central 100 ⋅(1−α) % [soit 99%, 95%, 90%, etc.] pour la moyenne de la
population µ, est (X− t
n-1, α /2
⋅S /√n , X+ t
n-1, α /2
⋅S/√n ), où t
n-1, α /2
est la
variation t de Student avec ν = n-1 degrés de liberté et une probabilité α/2
de dépassement.
Les limites de confiance unilatéral supérieure et inférieure 100
⋅ (1-α) % pour la
moyenne de population µ sont, respectivement :
X + t
n-1, α /2
⋅S/√n etX − t
n-1, α /2
⋅S /√n.
Petits échantillons et grands échantillons
Le comportement de la distribution t de Student est tel que pour n>30, la
distribution ne peut pas se distinguer par rapport à la distribution normale
standard. Par conséquent, pour les échantillons de plus de 30 éléments,
quand la variance de la population est connue, vous pouvez utiliser le même
intervalle de confiance que quand la variance de la population est connue,
mais en remplaçant
σ par S. Les échantillons pour lesquels n>30 sont
généralement appelés grands échantillons, sinon on parle de petits
échantillons.
Intervalle de confiance pour une proportion
Une variable aléatoire discrète X suit une distribution de Bernoulli si X ne peut
prendre que deux valeurs, X = 0 (échec) ou X = 1 (succès). Supposons que X
~ Bernoulli (p), où p est la probabilité de succès, alors la valeur moyenne ou
attente de X est E[X] = p et sa variance est Var[X] = p(1-p).
Si une expérience impliquant X est répétée n fois et que k résultats positifs
(succès) sont enregistrés, alors l’estimation de p est donnée par p’= k/n,
tandis que l’erreur standard de p’ est
σ
p’
= √(p⋅(1-p)/n). En pratique,
l’estimation de l’échantillon pour p, soit p’, remplace p dans la formule
d’erreur standard.