Equation de bessel – HP Calculatrice graphique HP 49g Manuel d'utilisation
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Les polynômes de Legendre sont préprogrammés dans la calculatrice et
peuvent être utilisés en utilisant la fonction LEGENDRE en donnant l’ordre du
polynôme, n. La fonction LEGENDRE peut être obtenue dans le catalogue de
commandes (
‚N) ou par l’intermédiaire du menu
ARITHMETIC/POLYNOMIAL (voir Chapitre 5). Les cinq premiers polynômes
de Legendre sont obtenus comme suit :
0 LEGENDRE, résultat : 1,
à savoir P
0
(x) =1.0.
1 LEGENDRE, résultat : ‘X’,
à savoir P
1
(x) = x.
2 LEGENDRE, résultat : ‘(3*X^2-1)/2’,
à savoir P
2
(x) = (3x
2
-1)/2.
3 LEGENDRE, résultat : ‘(5*X^3-3*X)/2’,
à savoir P
3
(x) = (5x
3
-3x)/2.
4 LEGENDRE, résultat : ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, à savoir
P
4
(x) = (35x
4
-30x
2
+3)/8.
5 LEGENDRE, résultat : ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, à savoir
P
5
(x) = (63x
5
-70x
3
+15x)/8.
L’ODE (1-x
2
)
⋅(d
2
y/dx
2
)-2
⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m
2
/(1-x
2
)]
⋅y = 0, a pour solution
la fonction y(x) = P
n
m
(x)= (1-x
2
)
m/2
⋅(d
m
Pn/dx
m
). On appelle cette fonction la
fonction associée de Legendre.
Equation de Bessel
L’équation différentielle ordinaire x
2
⋅(d
2
y/dx
2
) + x
⋅ (dy/dx)+ (x
2
-
ν
2
)
⋅y = 0, où
le paramètre
ν est un nombre réel non négatif, est connue sous le nom
d’équation de Bessel. Les solutions à l’équation de Bessel sont données sous la
forme d’une fonction de Bessel de premier type d’ordre
ν:
∑
∞
=
+
+
+
Γ
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
0
2
2
,
)
1
(
!
2
)
1
(
)
(
m
m
m
m
m
m
x
x
x
J
ν
ν
ν
ν
où
ν n’est pas un entier, accompagnée de la fonction Gamma Γ(α) définie au
Chapitre 3.
Si
ν = n, un entier, les fonctions de Bessel de premier type pour n = entier n
= n sont définies par :