HP Calculatrice graphique HP 49g - Manuel (Page 505)

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Intégration par parties et différentielles
La différentielle d’une fonction y = f(x), est défini comme y = f’(x) dx, où f’(x)
est la dérivée de f(x). On utilise les différentielles pour représenter les petits
incréments des variables. La différentielle du produit de deux fonctions, y =
u(x)v(x), est donné par dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), ou, plus simplement, d(uv) =
udv - vdu. Ainsi, l’intégrale de udv = d(uv) - vdu,
s’écrit.
∫ ∫ ∫ − =
vdu uv d udv
) (
Par définition d’une différentielle, ∫dy = y,
l’expression précédente s'écrit donc ainsi :
∫ ∫ − =
vdu uv udv .
Cette formulation, appelée intégration par parties, peut permettre de
rechercher une intégrale si dv est facilement intégrable. Par exemple,
l’intégrale
∫xe x dx peut être résolue par intégration par parties si vous
employez u = x, dv = e x dx, puisque, v = e x . Avec du = dx, l’intégrale devient
∫xe x dx = ∫udv = uv - ∫vdu = xe x - ∫e x dx = xe x - e x .
La calculatrice fournit la fonction IBP, sous le menu CALC/DERIV&INTG,
laquelle accepte comme arguments la fonction originelle à intégrer, à savoir
u(X)*v’(X), et la fonction v(X), et retourne u(X)*v(X) et -v(X)*u’(X). En d’autres
termes, la fonction IBP retourne les deux termes de droite de l’équation en
intégration par parties. Pour l’exemple utilisé ci-dessus, on peut écrire en
mode ALG :
Ainsi, on peut utiliser la fonction IBP pour fournir les composants d’une
intégration par parties. L’étape suivante devra être effectuée séparément.
Il est important de mentionner que l’intégrale peut être calculée directement,
par exemple à l’aide de :