HP Calculatrice graphique HP 49g - Manuel (Page 523)

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Chapitre 15
Applications d’analyse vectorielle
Dans ce chapitre nous vous présentons plusieurs fonctions du menu CALC qui
s’appliquent à l’analyse de champs scalaires et vectoriels. Le menu CALC a
été présenté dans le détail au Chapitre 13. En particulier, dans le menu
DERIV&INTEG, nous avons identifié un certain nombre de fonctions qui ont
des applications en analyse vectorielle, à savoir CURL, DIV, HESS, LAPL. Pour
les exercices de ce chapitre, paramétrez votre mesure d’angle en radians.
Définitions
Une fonction définie dans une région de l’espace telle que φ(x,y,z) est
appelée champ scalaire. Des exemples de ces champs sont fournis par les
températures, les densités et le potentiel de tension près d’une charge. Si la
fonction est définie par un vecteur, à savoir F(x,y,z) =
f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, elle est appelée champ de vecteurs.
L’opérateur suivant, appelé opérateur ‘del’ ou ‘nabla’, est un opérateur basé
sur vecteurs qui peut être appliqué à un scalaire ou à une fonction vectorielle
[ ] [ ] [ ] [ ]
z
k
y
j
x
i
∂
∂
⋅ +
∂
∂
⋅ +
∂
∂
⋅ = ∇
Lorsque cet opérateur est appliqué à une fonction scalaire, nous pouvons
obtenir le gradient de cette fonction, et lorsqu’il est appliqué à une fonction
vectorielle nous pouvons obtenir la divergence et le rotationnel de cette
fonction. Une combinaison de gradients et de divergences produit un autre
opérateur que l’on appelle le Laplacien d’une fonction scalaire. Ces
opérations sont présentées ci-dessous.
Gradient et dérivée directionnelle
Le gradient d’une fonction scalaire φ(x,y,z) est une fonction vectorielle définie
par
z
k
y
j
x
i grad
∂
∂
⋅ +
∂
∂
⋅ +
∂
∂
⋅ = ∇ =
φ φ φ
φ φ